Kvadratna jednadžba

Kvadratna jednadžba je bilo koja jednadžba oblika $ax^2 + bx + c = 0$, gdje su $a$, $b$ i $c$ neki realni brojevi i $a \neq 0$.

kvadratna_jednadzba_-_desktop_100b2ceb842ab0c5cff43fc87d54814ec9a6dc6aa

kvadratna_jednadzba_-_mobile_19b10aa00ea6b9adf708af73abccef23c9d01c6ca

Brojeve $a$, $b$ i $c$ zovemo koeficijenti kvadratne jednadžbe. Redom, njihova imena su još vodeći, linearni i slobodni koeficijent.

kvadratna_jednadzba_primjer_1_-_desktop_162e4433ce5392a0c65a592cccb102ece666279c2

kvadratna_jednadzba_primjer_1_-_mobile_11025bafe403ee03376961088dcb326e93b7f4ea5

Rješenja kvadratne jednadžbe

Za dobivanje rješenja kvadratne jednadžbe koristimo kalkulator ili formulu:

$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} $

kvadratna_jednadzba_primjer_2_-_desktop_15f433e00c5e57f0c710a639749511fef6a79f3aa

kvadratna_jednadzba_primjer_2_-_mobile_1cd54e221c78635c33fe7e39b9b9b0299f4aadc0e

Diskriminanta kvadratne jednadžbe

Diskriminanta je broj $D$ kojeg računamo formulom:

$ D=b^{2}-4 a c $

Diskriminanta utječe na broj i vrstu rješenja kvadratne jednadžbe. Imamo 3 slučaja:

$D>0$ $\implies $ dva različita rješenja koja su realni brojevi
$D=0$ $\implies$ jedno dvostruko rješenje, realan broj
$D<0$ $\implies$ dva različita rješenja, kompleksno konjugirani brojevi

kvadratna_jednadzba_-_diskriminanta_-_desktop_2daace3105e9062e3ce61bacfa116a75a117d5628

kvadratna_jednadzba_-_diskriminanta_-_mobile_2cd3d82afc59532ee40fb58585b8821e7df7cfe60

Vietove formule

Ako sa $x_1$ i $x_2$ označimo rješenja kvadratne jednadžbe, a $a$, $b$ i $c$ su koeficijenti kvadratne jednadžbe kao prije, onda vrijedi:

$ x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \quad ; \quad x_{1} \cdot x_{2}=\frac{c}{a} $

Ako su nam poznata rješenja $x_1$ i $x_2$ kvadratne jednadžbe $ax^2 + bx + c = 0$, tada svaki kvadratni trinom $ax^2 + bx + c$ ($a\neq0$) možemo faktorizirati kao:

$ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) $

Bikvadratna jednadžba

Bikvadratna jednadžba je jednadžba oblika $ax^4 + bx^2 + c = 0$, gdje su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi.

Rješavamo ju supstitucijom (zamjenom) $t = x^2$. Time dobivamo kvadratnu jednadžbu $at^2 + bt + c = 0$ kojoj znamo izračunati rješanja. Nakon što dobijemo $t_1$ i $t_2$, do rješenja početne jednadžbe dolazimo iz jednadžbi $x^2 = t_1$ i $x^2 = t_2$. Bikvadratna jednadžba može imati nula, dva ili četiri rješenja.

Kvadratna jednadžba