Svojstva pravca

3. razred Matematika B Matematika A

Udaljenost točke od pravca

Udaljenost točke $A(x_0,y_0)$ od pravca $Ax+By+C$ računamo:

$ d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} $

Ako je pravac zadan u obliku $y=kx+l$, formula glasi:

$ d=\frac{\left|k x_{0}+l-y_{0}\right|}{\sqrt{1+k^{2}}} $

Međusobni položaj dvaju pravaca

Dva pravca mogu se:

sjeći u jednoj točki
uopće se ne sjeći (paralelni su)
preklapati.

Do svakog od ovih slučajeva dođemo rješavanjem sustava jednadžbi koji je nastao od jednadžbi ta dva pravca.

$ \left\{\begin{array}{l} A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0 \end{array}\right. $

Pravci_-_medusobni_polozaj_-_desktop_37100fd378182438ddc0a60f30700484fddb44ff0

Pravci_-_medusobni_polozaj_-_mobile_3e4fd026e102b480b160ebe9495faa52139a739f4

Kut između dva pravca

Kada pričamo o kutu između pravaca, uvijek mislimo na onaj manji.

Ako s $\alpha$ označimo taj kut, za pravce $y=k_1 x + l_2$ i $y=k_2 x + l_2$ vrijedi:

$ tg\alpha=\left|\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1} k_{2}}\right| $

Paralelnost i okomitost

Pravci su paralelni ako vrijedi sljedeće (imamo dvije formule, ovisno zapišemo li pravce u obliku $y=k_1 x + l_2$ i $y=k_2 x + l_2$ ili $A_1x+B_1y+C_1 = 0$ i $A_2x+B_2y+C_2=0$):

$ k_1 = k_2 \quad \text{ili} \quad \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}} $

Pravci su okomiti ako vrijedi sljedeće (imamo dvije formule, ovisno zapišemo li pravce u obliku $y=k_1 x + l_2$ i $y=k_2 x + l_2$ ili $A_1x+B_1y+C_1 = 0$ i $A_2x+B_2y+C_2=0$):

$ k_{1} k_{2}=-1 \quad \text{ili} \quad A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}=0 $